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四価ゴールドバーグの立体　Tetravalent Goldberg Polyhedra

四価ゴールドバーグの立体
Tetravalent Goldberg Polyhedra
2016年京都大学にて発見
Discovered at Kyoto Univ. in 2016

自己集合の美
　限られた種類の小さな分子が自然に集まって、秩序だった構造を作り上げる現象には驚かされます。この報告では、化学的な手法で、幾何学的構造の分子複合体を作り上げることに成功しています。構成単位は金属イオン（Ｍ：４価の頂点に相当）と有機リガンド（Ｌ：辺に相当）。溶媒中で自己集合して、90成分からなる複合体Ｍ30Ｌ60が形成されました。その構造は、分子形状としてはとても珍しい4価ゴールドバーグの立体であることが分り、しかも鏡像体のある形でした（tet-G(2,1)、Ⅲ型）。著者らは、幾何学的な法則性からさらに大きな複合体を予測し、期待通り144成分からなる複合体M48L96を得ています（tet-G(2,2)、II型）。自己集合で作られる形は、熱力学的に安定です。対称性の高い幾何学的構造はおそらく安定であり、巨大な分子複合体を作りだす上で重要な手がかりになりそうです。

四価ゴールドバーグの立体*

　正八面体のゴールドバーグ・コクセターコンストラクション＊による立体。四価で三角形と四角形からなる八面体対称の立体です。三角形は常に8つです。三角形の位置はちょうど立方体の頂点部分にあたり、その間を四角形で均等に埋めた形です。一つの三角形をスタートして、隣り合う面づたいにｍ面直進し、90度向きを変えてn面直進すると、最寄りの三角形にたどり着きます。このとき、Ｉ型はmまたは n=0、II型はm=ｎ、III型はm≠nです。III型のみ鏡像体があり、ねじれた外観です（右巻きと左巻き）。馴染み深い三角形と四角形でできる形ですが、四価ゴールドバーグの立体は普段目にすることはありません。対称性の高い美しい立体で、特にII型とIII型が面白いです。
* これらの語句は説明のために用いていますが、厳密には正確ではないかもしれません。下記の文献が参考になります。
-Brinkmann et al., Proceedings Royal Society A 473: 20170267 (2017)

Self-Assembled Beauty

Natural wonders may extend to a molecular phenomenon in which limited types of small components assemble into a highly ordered structure. In chemistry, geometric supramolecular structures were obtained by self-assembly of metal ions (M: as tetravalent vertices) and organic ligands (L: as bent edges at a certain angle). X-ray crystallography revealed that the complex Ｍ30Ｌ60 made of 90 components has a structure resembling a tetravalent Goldberg polyhedron tet-G(2,1) typeIII, an unprecedented structure in the molecular world. The authors predicted even larger complexes, and successfully obtained Ｍ48Ｌ96 made of 144 components (tet-G(2,2), type II). Self-assembled structures are thermodynamically stable. Geometric principles may underlie formation of supramolecular structures.

Tetravalent Goldberg Polyhedra*

Polyhedra obtained by the Goldberg-Coxeter construction* on an octahedron. Simply, these are created by adding tetragons to the octahedron, 4-reguraly and symmetrically (octahedral). Triangles are 8 in total. Triangles are located at vertices of a cubic cell, and tetragons fill the gaps evenly. Starting from one triangle, move m-faces over tetragons in one direction, turn 90 degrees, and move n-faces to reach the closest triangle. A pair of numbers (m,n) is useful to classify the structures: m, n=0 (type I), m=n (type II), and m≠n (type III). Only type III is chiral, and looks twisted. Although triangles and tetragons are both familiar, tetravalent Goldberg polyhedra look unusual yet so beautiful. Type II and III are particularly interesting. 
* Please be advised that the terms “tetravalent Goldberg polyhedra” and “Goldberg-Coxeter construction” are used for convenience, but might not be accurate. See, Brinkmann et al., Proceedings Royal Society A 473: 20170267 (2017)

-“Self-assembly of tetravalent Goldberg polyhedra from 144 small components” Fujita et al., Nature 540: 563-566 (2016)
-"Comparing the constructions of Goldberg, Fuller, Caspar, Klug and Coxeter, and a general approach to local symmetry-preserving operations" Brinkmann et al., Proceedings Royal Society A 473: 20170267 (2017)

-日本科学技術振興機構（2016年12月22日）“分子の自己集合現象の解明に迫る物質群の存在を発見”

- Japan Science and Technology Agency, 22.12.2016. “Self-assembly of tetravalent Goldberg polyhedra from 144 small components”
-京都大学物質細胞統合システム拠点（iCeMS）

 the United Kingdom 

クラスリン複合体　Clathrin complex (triskelion) 

クラスリン複合体
Clathrin complex (triskelion)
2019年ロンドン医学研究所、イギリス
Institute of Medical Sciences, London, UK in 2019

細胞の中の小さな包装係

　真核細胞には膜輸送というユニークな物流システムがあり、タンパク質などの生体分子を小さな球状の膜（小胞）に乗せて輸送します。クラスリンは構造タンパク質で小胞をつくるときに必要となります。クラスリン複合体（triskelion）は、中心から3方向に渦巻くように伸びた形をしています（3価の頂点と辺に相当）。膜をちぎって小胞をつくるときに、クラスリン複合体が足場となり、膜を小胞体から包み込むように自己集合しながらかご状構造体を形成します。かご状構造体は主にフラーレンの様な形（頂点は3価、面は五角形と六角形）です。この論文では低温電子顕微鏡を用いて、サツマイモ、テニスボール、樽、りんご、等のあだ名がつけられたかご状構造体を観察して、大きさや形の異なるかご状構造体を上手に編み上げるクラスリンの状態を考察しています。ここでは論文の中から２つ、「テニスボール」C36:14D2dと「樽」C36:15D6hを選んでいます。これらはともにC36フラーレン構造体です。この構造体には15種類の異なる形が考えられるのですが、その中でも自然に形成されやすい形（自己集合しやすい形）がこれら2つの形になります。これらは幾何学的な観点から予想されています。

C36:14D2dとC36:15D6h

　C36フラーレン構造体には15種類の異なる形が考えられ、その２つにあたります（14番目と15番目）。頂点は３６（３価ｘ３６）、面は２０（五角形ｘ１２、六角形ｘ８）。C36:14D2dは少しいびつなボールな形で、テニスそすると変な方向に飛び跳ねそうです。180度（=360/2）回転しても形が同じに見える軸があり、その軸を立てて横から見ると、形が上下でねじれています。これは半角柱のような対称性です。C36:15D6hは角ばった樽のような形です。６０度（=360/6）回転しても形が同じに見える軸があり、その軸を立てて横から見ると、形が上下で同じです。これは角柱のような対称性です。

A Tiny Packaging Attendant in The Cell

Eukaryotic cells have a unique logistics called membrane trafficking, in which various molecules are transported via vesicle. Clathrin is a structural protein, which plays an important role in formation off vesicles. Clathrin complex (triskelion) in a shape f triple spiral radiating from the center (corresponds to a 3-deg vertex with edges) is a construction unit of cage-like structures. Self-assembly of clathrin occurs on the membrane surface as it coats the vesicle being pinched off from the membrane. Many clathrin cages resemble fullerene structures (3-deg, 5-gon and 6-gon). In this paper, some of clathrin cages termed "mini-coat", ""sweet potato", "barrel", "tennis ball", and "big apple" were characterized by cryo-electron microscopy, providing insights into how clathrin forms a variety of cages with different sizes and shapes. Picked up here are the "tennis ball" C36:14D2d and "barrel" C36:15D6h, naturally observed clathrin cages that belong to C36 fullerene structures. Although there are 15 different shapes for C36 fullerene structures, there two are the favorable shapes for self-assembly as shown by a theoretical study based on geometry.

C36:14D2dとC36:15D6h

These are the 14th and 15th isomers of C36 fullerene structures. It has 36 vertices (30-deg x 36) and 20 faces (5-deg x 12 and 6-gon x8). C36:14D2h is like a ball which may bounce irregularly in playing tennis. It has a 2-fold rotation axis, and, by standing it upright, the upper and lower parts looks twisted. It has anti-prism-like symmetry. C36:15D6h is like a hexagonally angulates barrel. It has a 6-fold rotation axis, and, by standing it upright, the upper and lower parts look the same. It has prism-like symmetry.

-"Cryo-EM of multiple cage architectures reveals a universal mode of clathrin self-assembly" Morris KL et al, Nature Structural & Molecular Biology, 03 Oct 2019, 26(10):890-898

Egypt

ギザの大ピラミッド　The Great Pyramid of Giza